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L2PTM : La Prépa Pour Tous Maths, module [01/18] : raisonnement

Témoignage d’une élève en classe préparatoire PCSI

Systèmes de numération

1 Au commencement était le un

À la base il y avait des encoches sur des os…

… comme ceux qu’on a retrouvé au Congo (l’os d’Ishango)

Il s’agissait d’un système unaire, une encoche correspond à 1 et du
coup ben il suffit de compter le nombre d’encoches.

Tu t’imagines bien que c’est pas tip top lorsqu’on commence à avoir
des grands nombres…

… du coup on a eu l’idée de les regrouper par paquets et c’est
comme ça qu’on a inventé les bases de numération…

2 Système binaire

Le système binaire ou base deux, dont je parle dans cet article, a
été utilisé en Amérique du Sud et en Océanie avant d’être utilisé
de nos jours en informatique.

Pour rappel, en base 2 il n’y a que 2 chiffres possibles : 0 et 1.

Voici les équivalents binaires des 10 premiers nombres :

Binaire Décimal
00 0
01 1
10 2
11 3
100 4
101 5
110 6
111 7
1000 8
1001 9

3 Système ternaire

En base 3 il n’y a que 3 chiffres possibles : 0, 1 et 2.

Il existe une variante dite système ternaire équilibré qui cette
fois propose une signature : -1, 0, 1.

Cette variante est très utile pour les processeurs d’ordinateurs
qui effectuent des comparaisons de nombres (inférieur [-1], égal
[0], ou supérieur [1]).

Fun fact : en 1958 l’équipe de Nikolay Brusentsov et Segei Sobolev
(connu des afficionados des équations aux dérivées partielles) a
développé un ordinateur ternaire.

Voici les équivalents ternaires des 10 premiers nombres :

Ternaire Décimal
00 0
01 1
02 2
10 3
11 4
12 5
20 6
21 7
22 8
100 9

4 Système quinaire

En base 5 les 5 chiffres utilisés sont : 0, 1, 2, 3 et 4.

On en trouve des traces dans les langues africaines, mais aussi
chez les mayas et dans des langues austronésiennes.

Cette base quinaire apparaît parfois comme une sous-base des base
décimale ou vigésimale.

Voici les 10 premiers nombres en quinaire :

Quinaire Décimal
00 0
01 1
02 2
03 3
04 4
10 5
11 6
12 7
13 8
14 9

5 Système sénaire

En base 6 les chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4 et 5.

En Papouasie-Nouvelle-Guinée ils utilisent ce système

Voici les 10 premiers nombres en sénaire :

Sénaire Décimal
00 0
01 1
02 2
03 3
04 4
05 5
10 6
11 7
12 8
13 9

6 Système octal

En base 8 les 8 chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7.

Ce système est utilisé au Mexique et en informatique.

Voici les 10 premiers nombres en octal :

Octal Décimal
00 0
01 1
02 2
03 3
04 4
05 5
06 6
07 7
10 8
11 9

7 Système décimal

La base 10 est celle qu’on utilise tous les jours avec les 10
chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9

8 Système duodécimal

En base 12 il y a 12 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B

Ainsi A désigne le chiffre 10 et B le chiffre 11

Voici les 24 premiers nombres en duodécimal :

Duodécimal Décimal
00 0
01 1
02 2
03 3
04 4
05 5
06 6
07 7
08 8
09 9
A 10
B 11
10 12
11 13
12 14
13 15
14 16
15 17
16 18
17 19
18 20
19 21
1A 22
1B 23
20 24

9 Système hexadécimal

La base 16 utilise 16 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A,
B, C, D, E, F

Voici les 32 premiers nombres en hexadécimal :

Hexadécimal Décimal
00 0
01 1
02 2
03 3
04 4
05 5
06 6
07 7
08 8
09 9
A 10
B 11
C 12
D 13
E 14
F 15
10 16
11 17
12 18
13 19
14 20
15 21
16 22
17 23
18 24
19 25
1A 26
1B 27
1C 28
1D 29
1E 30
1F 31
20 32

10 Système vigésimal

En base 20 les 20 chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A,
B, C, D, E, F, G, H, I, J, K

Ce système existe au Bhoutan, chez les Aztèques et certains
chercheurs pensent qu’il a été utilisé par les Gaulois et les Basques.

11 Système sexagésimal

En base 60 on ne dispose de pas assez de lettres.

Par contre en utilisant le pouce pour compter les 3 phalanges des 4
autres doigts cela fait 12 phalanges et si on utilise les 5 doigts
de l’autre main pour les retenues on a donc 60 nombres.

Prenons quelques exemples :

  • Pour compter 30 je compte 2 fois les 12 phalanges de ma main
    gauche, donc je lève le pouce et l’index de ma main droite (les
    retenues) puis je compte les phalanges de mon index et de mon
    majeur gauche ainsi 24 + 6 = 30
  • Pour compter 45 je compte 3 fois les 12 phalanges de ma main
    gauche, donc je lève le pouce, l’index et le majeur de ma main
    droite (retenues) puis je compte les phalanges jusqu’à mon
    annulaire de ma main gauche ainsi 36 + 9 = 45

Petit défi à toi de compter jusqu’à 51 avec cette méthode.

Pour info ce système de comptage avec les phalanges est utilisé par
les Vietnamiens.

Quant à la base 60 historiquement elle nous vient des babyloniens
(actuelle Irak) et on l’utilise encore pour les heures et les
minutes.

Le nombre 60 comptant de nombreux diviseurs (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10,
12, 15, 20, 30, 60) c’était pratique pour faire les calculs.

12 Demain

Voilà, c’est fini pour aujourd’hui

À demain pour le code

Author: Laurent Garnier

Created: 2020-02-06 Thu 12:38

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