Pourquoi 2 et 2 ne font pas toujours 4 ou comment compter jusqu’à 4095 rien qu’avec ta main gauche ?

Infolettre du mercredi 27 novembre 2019

 

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L2PTM : La Prépa Pour Tous Maths, module [01/18] : raisonnement

Sais-tu comment on fait les bébés ?

 

Attention parce qu’il y a une mise à jour en cours…

Jusqu’à présent il fallait deux personnes pour en créer une troisième (voire plus avec les jumeaux, les triplets…) …

… mais ça c’était avant, maintenant une personne suffit ou plus de personnes…

… oui je sais ce n’est pas très clair alors je te recommande cette vidéo de DirtyBiology pour y voir plus clair.

Bon ok j’ai triché avec mon exemple introductif parce que ce n’est pas des maths, c’est de la biologie.

Avant d’aller plus loin dans les vraies maths je te propose quelques rappels de bienséance.

Rappels et mise en garde

Si le contenu de cette infolettre ne te convient pas tu es absolument libre de te désabonner ou simplement de refermer ce mail et d’attendre celui de demain.

Mon infolettre est organisée chaque semaine de la façon suivante :

  1. lundi je te parle d’anglais par rapport à mon blog https://doyouspeakenglish.fr 
  2. mardi je te parle de russe par rapport à mon blog https://govoritparoussky.fr
  3. mercredi je te parle de maths par rapport à mon blog https://mathstoche.fr
  4. jeudi je te parle d’informatique par rapport à mon blog https://computercode.fr
  5. vendredi je te parle de développement personnel et professionnel par rapport à mon blog https://whealthyhuman.fr
  6. samedi je te parle de langue et de culture française par rapport à mon blog https://impossiblenestpasfrancais.eu
  7. dimanche je te parle de l’apprentissage des langues par rapport à mon blog https://polyglothuman.fr

Voilà, donc si tu sais compter tu vois que ça fait 7 blogs pour 7 jours donc 1 blog par jour.

 

Tu sais maintenant à quoi t’attendre en lisant cette infolettre.

Si tu apprécies mon travail alors partage-le partout où tu pourras parce que c’est le meilleur service que tu puisses me rendre et rendre aux gens que tu apprécies.

Bonne lecture !

Arithmétique de l’horloge

 

Est-ce que tu t’es déjà demandé pourquoi il y a 60 secondes dans 1 minute et non pas 10 ou 100 ?

 

À ton avis pourquoi y a-t-il 60 minutes dans 1 heure ?

 

La Bible a attribué un très mauvais rôle aux Babyloniens mais pourtant nous leur devons beaucoup et notamment l’utilisation de la base 60 pour compter le temps.

 

Le nombre 60 a été choisi pour son grand nombre de diviseurs.

 

En effet, tu peux le diviser par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

 

Du coup c’est très pratique pour faire des découpages justes.

 

Lorsqu’il est 23h59 et qu’on ajoute 1 minute on passe à 00h00 et non pas 23h60 donc dans ce cadre 59 + 1 = 10 pour 1 heure et 0 minute.

 

Le cadran circulaire d’une montre ou d’une horloge te permets de bien visualiser la conception cyclique de cette arithmétique.

 

Mais en fait, ce caractère cyclique se cachait déjà dans l’arithmétique classique.

Arithmétique classique

 

L’arithmétique classique, ou arithmétique tout court, est l’étude des nombres entiers.

 

Le truc c’est qu’en fait, contrairement aux idées reçues, il n’y a rien de “naturel” à utiliser la base 10 plutôt que la base 60 ou vice versa ou n’importe quelle autre base.

 

Pour les journées tu utilises bien la base 24 ou deux fois celle de 12 si tu précises le matin ou l’après-midi.

 

Pour les semaines tu utilises la base 7 et pour les années la base 12.

 

Et si tu crois que parce que tu as 10 doigts cela renforce le côté “naturel” de la base 10 alors je te rappellerai que tu as aussi 10 orteils donc la base 20 pourrait convenir.

 

Tu peux même faire encore mieux avec 1 seule main.

Fais le test !

 

Faisons une expérience sensorielle de l’arithmétique.

 

Prends ta main gauche et utilise ton pouce pour compter les phalanges de ton index… normalement, sauf accident, tu devrais en avoir 3.

 

Puisque tu utilises ton pouce pour compter les phalanges alors il te reste 4 doigts de disponibles.

 

Il s’agit précisément des 4 doigts sur lesquels tu vas compter les phalanges…

 

… le truc c’est que chacun de tes doigts (hormis le pouce) compte exactement 3 phalanges… donc tu peux compter jusqu’à 12 avec simplement ta main gauche…

 

… alors pourquoi ne serait-il pas naturel d’utiliser la base 12 ?

 

… ou 24 si tu fais la même chose avec ta main droite ?

Le langage (ou numération) binaire est-il vraiment réservé aux machines ?

 

Est-ce que ce premier test t’a plu ?

 

Est-ce que tu as aimé expérimenter avec ta propre chair l’expérience sensorielle de l’arithmétique ?

 

Si la réponse est oui alors tu vas encore plus apprécier ce qui va suivre.

 

Dans les films du genre Matrix ou autre tu peux voir des suites de 0 et de 1 défiler à l’écran et on te dit qu’il s’agit du langage binaire…

 

Bon alors en vrai on parle de numération binaire ou de base 2, de la même manière qu’on parle de base 10 ou système décimal.

 

Bref, toi aussi tu peux le faire juste avec ta main gauche.

 

Voici les règles du jeu :

  1. Ton pouce gauche vaut 1
  2. Ton index gauche vaut 2
  3. Ton majeur gauche vaut 4
  4. Ton annulaire gauche vaut 8
  5. Ton auriculaire gauche vaut 16

 

Question : comment faire pour obtenir 3 ?

Réponse : en utilisant ton pouce et ton index gauche.

 

Pour obtenir 5 tu dois utiliser ton pouce et ton majeur gauche.

 

Pour obtenir 6 tu dois utiliser ton index et ton majeur gauche.

 

Bon, pour voir si tu as compris je vais te poser une petite question : jusqu’à combien peux-tu compter avec ta main gauche en utilisant ce système ?

 

Avant de te donner la réponse, afin que tu puisses avoir le plaisir de la découvrir par toi-même, je te propose de remarquer que tu pourrais tout à fait utiliser des pièces de monnaies ou des cartes ou des feuilles de papier différentes recto verso ou n’importe quel système composé de deux éléments distincts…

 

… d’où le nom de numération binaire !

 

Bon, ok, ce n’est pas encore très clair pour toi, éclaircissons.

Comment fonctionne la numération binaire ?

 

Tu connais peut-être l’histoire de l’inventeur du jeu d’échecs.

 

En voici une version (abra)raccourcie(X)

 

Il était une fois en Inde un roi qui voulait occupait son fils ET le préparer à la guerre.

 

Il décida d’offrir tout ce qu’il voudrait à celui qui résoudrait ce problème.

 

Un beau jour un paysan arrive et lui propose le jeu d’échecs.

 

Le prince et le roi sont satisfait alors le roi demande au paysan : “que veux-tu que je t’offre pour te récompenser ?”

 

Et le paysan répondit : “mettez 1 grain de riz sur la première case, 2 sur la deuxième, 4 sur la troisième, 8 sur la quatrième et double à chaque case jusqu’à la 64ème et je me contenterai de cette dernière case”

 

Question : combien y devait-il y avoir sur la 64ème case ?

 

 

Suspense

 

 

Suspense

 

 

Suspense

 

 

 

Réponse : 2 élevé à la puissance 63 soit environ 9 milliards de milliards de grains de riz !

 

C’est ça qu’on appelle une croissance exponentielle !

 

Double à chaque fois ça monte vite.

 

Revenons à notre main et à son transfert de tâche.

 

Au passage, la réponse était 2 à la puissance 5 moins 1 soit 31.

 

Soit tu fais le calcul basique 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 soit tu connais le résultat sur les sommes géométriques.

 

Donc si tu considères la position des doigts de ta main avec le codage suivant :

  • Le pouce correspond à la position 0 la plus à droite
  • L’index correspond à la position 1 juste à gauche du pouce
  • Le majeur correspond à la position 2 juste à gauche de l’index
  • L’annulaire correspond à la position 3 juste à gauche du majeur
  • L’auriculaire correspond à la position 4 juste à gauche de l’annulaire

 

Alors peut établir les nombres en base 2 ou langage binaire :

  • Pouce seul = 00001_2 = 1_10
  • Index seul = 00010_2 = 2_10
  • Pouce + index = 00011_2 = 3_10
  • Majeur seul = 00100_2 = 4_10
  • Pouce + majeur = 00101_2 = 5_10
  • Index + majeur = 00110_2 = 6_10
  • Pouce + index + majeur = 00111_2 = 7_10
  • Annulaire seul = 01000_2 = 8_10
  • Pouce + annulaire = 01001_2 = 9_10
  • Index + annulaire = 01010_2 = 10_10

 

Lorsque tu écris les chiffres habituellement tu ne précise pas qu’il s’agit de la base 10 parce que c’est implicite donc tu écris par exemple 7 et non pas 7_10

 

Mais lorsque tu utilises plusieurs bases il est nécessaire de préciser que 00101_2 est le nombre 00101 en base 2 qui vaut 5 en base 10

 

De cette façon tu peux positionner 5 supports, que ça soit des pièces de monnaie (pile ou face), des cartes identiques (que des as par exemple), des interrupteurs, des portes ou même des individus alignés (soit de face soit de dos).

 

Ainsi les 0 et les 1 indiquent simplement quelles sont les puissances de deux qui interviennent dans le calcul du nombre.

 

Alors bien sûr tu n’es pas limité à la puissance 4 avec ta main gauche.

 

À vrai dire, on pourrait établir une convention combinant l’approche avec les phalanges et celle qu’on vient de voir.

 

Par exemple tu pourrais décider de démarrer avec la puissance 0 pour la 1ère phalange de ton index gauche et ainsi on obtiendrait la puissance 11 pour la dernière phalange de ton petit doigt.

 

Du coup, avec ce système hybride que je viens d’inventer, tu pourrais compter jusqu’à 2 à la puissance 12 moins 1 soit 4095 !

 

Tu peux compter jusqu’à 4095 rien qu’avec ta main gauche !

Et l’horloge dans tout ça ?

 

Alors maintenant il est temps de synthétiser un peu tout ce qu’on a vu et de répondre à la question du titre.

 

La première chose que tu dois retenir c’est que le système décimal n’est pas plus naturel que les autres il s’agit simplement d’une convention (comme rouler à gauche ou à droite selon le pays).

 

C’est la même chose que les noms des jours de la semaine ou des mois… si tu apprends le russe tu devras apprendre des nouveaux noms parce qu’ils utilisent d’autres conventions pour représenter le même concept.

 

La base deux ou numération binaire est très pratique en informatique et en électronique car elle correspond bien à un circuit ouvert ou fermé…

 

… mais il en existe d’autres, la base huit ou octale et la base hexadécimale (16) sont également très utilisée en informatique.

 

Faisons quelques calculs en base 2 pour que tu comprennes où je veux en venir.

 

Tout d’abord il est important de noter qu’en base N le plus grand chiffre vaut N – 1 (en base 10 le plus grand chiffre est 9)

 

Donc en base 2 on a :

1_2 + 1_2 = 10_2

1_2 = 1_10  or 1_10 + 1_10 = 2_10 soit 2 puissance 1

 

On utilise 0 fois le pouce ou 2 puissance 0 et on utilise 1 fois l’index ou 2 puissance 1 d’où 1 + 1 = 10 en base 2

 

Pourquoi 2 et 2 ne font pas toujours 4 ?

 

Plaçons-nous en base 3 pour finir.

 

Donc en base 3 les chiffres disponibles sont 0, 1, 2

2_3 + 2_3 = 11_3

 

En effet 2_3 = 2_10 or 2_10 + 2_10 = 4_10

 

et en base 10 on a : 4 = 3 + 1

 

soit 4_10 = 11_3 puisque on utilise 1 fois 3 puissance 0 (l’unité) et 1 fois 3 puissance 1 (la “troizaine”)

 

Donc 2 + 2 = 11 en base 3

Conclusion

 

Voilà c’est terminé pour aujourd’hui.

J’espère que ça t’a plu.

Si c’est le cas partage partout autour de toi.

Rendez-vous à demain.

Et n’oublie pas :
Chaque jour est une occasion de devenir meilleur (que tu ne l’étais hier)

PS : toutes mes formations gratuites ou payantes sont disponibles sur https://laurentgarnier.podia.com


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