Les matrices (programme de terminale)


Kit de survie en maths

Matrice n\times p

Définition

On appelle M matrice de taille n\times p un tableau de nombres à n lignes pour p colonnes.

Les coefficients d’une matrice sont les nombres à l’intérieur du tableau. Afin de pouvoir les nommer précisément on note m_{ij} l’élément situé à la i-ème ligne et la j-ème colonne (en cas d’ambiguïté on notera m_{\{i, j\}}).

 

Exemple

Soit la matrice

    \[M = \bordermatrix{ & 1 & 2 & 3 \cr 1 & \boxed{-2,6} & 0,1 & 1,3\cr 2 & 0,2 & 4,6 & \boxed{5,2}\cr }\]

Cette matrice est de taille 2\times 3, en effet elle a 2 lignes et 3 colonnes.

On a : m_{\{1, 1\}} = -2,6 \quad m_{\{2,3\}} = 5,2\dots

 

Définition

 

  • Une matrice de taille 1\times p, ayant 1 ligne et p colonnes, est appelée matrice ligne.
  • Une matrice de taille n\times 1, ayant n lignes et 1 colonne, est appelée matrice colonne.
  • Une matrice de taille n\times n, ayant n lignes et n colonnes, est appelée
    matrice carrée.

 

Exemples

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} est une matrice ligne de taille 1\times 4
B = \begin{pmatrix}5\\6\\7\end{pmatrix} est une matrice colonne de taille 3\times 1
C = \begin{pmatrix}8 & 9\\10 & 11\end{pmatrix} est une matrice carrée de taille 2

 

Remarques

On appelle matrice nulle une matrice dont tous les éléments sont nuls.

Par exemples :

O_{\{3, 4\}} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

O_3 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}

On appelle matrice identité une matrice une matrice carrée dont tous les éléments sont nuls sauf ceux situés à l’intersection de la i-ème ligne et la i-ème colonne qui valent 1.

Par exemples :

I_3 = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

I_2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

 

Les indices {3, 4}, 3 ou 2 indiquent la taille de la matrice

 

Définition

 

Soient A et B deux matrices de même taille. La somme de A et de B, notée A + B est une matrice ayant encore la même taille et dont chaque élément (coefficient) est la somme des éléments de A et de B situés à la même ligne et même colonne.

 

Exemples

 

\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+5&2+6\\3+7&4+8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}7&8&9\\10&11&12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+4&2+5&3+6\\7+10&8+11&9+12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5&7&9\\17&19&21\end{pmatrix}

 

Propriété

Soient A, B, C, O des matrices de même taille (O étant la matrice nulle) :

  1. A + B = B + A (commutativité)
  2. (A + B) + C = A + (B + C) (associativité)
  3. A + O = O + A (élément neutre)

 

Définition

Soient A une matrice et k un réel. Le produit de la matrice A par le réel k est la matrice notée kA, de même taille que A dont chaque coefficient est le produit du coefficient de A situé à la même ligne et la même colonne par k.

Exemples

5\times \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\times 1&5\times 2\\5\times 3&5\times 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5&10\\15&20\end{pmatrix}

-7\times \begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7\times 1&-7\times 2&-7\times 3\\-7\times 4&-7\times 5&-7\times 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7&-14&-21\\-28&-35&-42\end{pmatrix}


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