Comment faire pour ne pas se perdre dans la matrice ?

Newsletter du 4 Décembre 2019

 

Lis cet article sur MailChimp et rejoins la newsletter : https://us17.campaign-archive.com/?u=eb99d717567486fa5dfaf7dfe&id=d20f3f92d5

 


Kit de survie en maths

Ah les matrices

Historiquement tu peux considérer que les matrices sont apparues au XIXème siècle avec l’homme de loi Arthur Cayley avocat de profession et amateur de mathématiques et d’alpinisme.
Tu es peut-être surpris d’apprendre que c’est un homme de loi qui a défini les règles du calcul matriciel.
Pourtant si tu regardes un peu l’histoire des mathématiques tu verras que l’anglais n’est pas le premier dans son genre.
En effet, avant lui il y eut Leibniz l’allemand qui en plus d’être un homme de loi était aussi un homme de foi comme son célèbre rival anglais Newton.
Tu pourrais te demander si la donne était différente en France… et bien non puisque si tu regardes du côté de Toulouse tu trouveras le plus grand farceur de tous les mathématiciens j’ai nommé Pierre de Fermat, juriste de profession, passionné d’arithmétique et dont le dernier théorème a mis plus de 3 siècles pour être démontré…
Bref, l’avocat anglais Arthur Cayley a établi les lois du calcul matriciel

Mais au fait, c’est quoi une matrice ?

En fait, c’est tout bête …
Bon, en vrai, historiquement tu peux considérer qu’il s’agit d’une façon commode de représenter une famille de vecteurs… mais pas que…
Lorsque notre ami Arthur introduit ces tableaux de nombres ça fait déjà un siècle que le Suisse Gabriel Cramer avait introduit les bases du calcul de déterminants
En fait, il y a un japonais (Seki Kowa) qui les avait étudié en même temps que Leibniz alors que le Japon était coupé du monde.
Et si tu veux chercher plus loin tu trouveras des chinois qui utilisait déjà des tableaux de nombre aux alentours du XIVème siècle pour résoudre des systèmes selon la méthode du pivot qui sera développée en Occident plusieurs siècles plus tard.

Déterminant que tu as découvert après les matrices, comme outil de calcul pour déterminer si une matrice est inversible par exemple
Bref, historiquement les matrices sont venues simplifier les calculs en algèbre linéaire

Et en français ça donne quoi ?

Bien sûr, tout ce que je t’ai dit jusqu’à présent peut te paraître obscur si tu n’as jamais suivi ni compris l’algèbre linéaire
Les meilleures ressources que tu peux trouver sur internet pour te faire une bonne intuition de l’algèbre linéaire se trouvent sur la chaîne YouTube 3Blue1Brown dans sa playlist sur l’algèbre linéaire que tu peux consulter en cliquant sur ce lien.
Alors on va faire simple
Imaginons que tu veuilles comparer deux forfaits de vélos en libre service dans deux villes différentes, appelons-les A et B pour être très original.
Disons que dans la ville A l’abonnement  coûte 30€ à l’année et ensuite la location coûtes 10€ de l’heure.
Tu peux en déduire l’équation y = 10x + 30 où x représente les heures et y le coût total
Maintenant dans la ville B l’abonnement coûte 50€ à l’année puis 5€ de l’heure.
Tu peux écrire l’équation

    \[y = 5x + 50\]

Tu peux interpréter chacune de ces équations comme une équation de droite
Ou si tu préfères, tu peux représenter chaque équation par une droite affine.
Si tu as besoin de rappels ou de savoir ce que sont les équations de droite alors je te recommande la vidéo ci-dessous que j’avais réalisé pour des élèves de seconde.

Pour ce faire il te suffit de calculer les coordonnées de 2 points pour chacune
Par exemple pour A tu peux prendre le point M de coordonnées (0;30) et le point N de coordonnées (-3;0)
Pour M j’ai remplacé x par 0 dans l’équation ce qui donne

    \[y = 10\times 0 + 30 = 30\]

Et pour N j’ai résolu l’équation

    \[10x + 30 = 0\Rightarrow 10x = -30 \Rightarrow x = \dfrac{-30}{10} = -3\]

Du point de vue de la situation concrète le point N n’a pas de sens parce que tu ne peux pas utiliser un vélo pour une durée négative …
… par contre, géométriquement par deux points il ne passe qu’une seule droite donc tu as le droit (c’est la loi) de calculer les points que tu veux… et il se trouve que les intersections avec les axes sont (en général) plus faciles à calculer
Bref, en faisant de même pour B tu obtiendras les points P de coordonnées (0;50) et Q de coordonnées (-5;0)
Avec les représentations graphiques tu peux facilement voir quel est le forfait le plus avantageux à l’œil sans aucun calcul

Il est où le rapport avec les matrices ?

J’y viens
À partir de l’équation

    \[y = 10x + 30\]

tu peux obtenir l’équation

    \[-10x + y = 30\]

De même que B devient

    \[-5x + y = 50\]

Du coup tu peux maintenant interpréter le système d’équations comme une seule équation matricielle
En effet, si tu poses :

    \[T = \begin{pmatrix}-10 & 1\\-5 & 1\end{pmatrix}\]

    \[Z = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\]

et

    \[V = \begin{pmatrix}30\\50\end{pmatrix}\]

Alors tu peux écrire :

    \[TZ = V\]

Ok et ça sert à quoi tout ça ?

Bonne question
Concrètement tu vas pas t’en servir pour résoudre ton problème de forfait
Par contre, dès que tu vas dépasser les 2 paramètres ça sera compliqué de faire des représentations graphiques
Au mieux t’es doué en dessin et tu pourrais faire de la 3D… mais à partir de 4 paramètres ou plus … n’y penses même pas
Concrètement si tu veux étudier et comparer les statistiques de deux joueurs de tennis tu auras beaucoup plus que 4 paramètres : aces, doubles fautes, fautes directes, breaks, pourcentage de premier service, retours gagnants…
Et c’est valable pour plein d’autres modélisations de la vie réelle.
Du coup, ramener la problématique à du calcul matriciel pur te permet de gérer des dimensions très grandes d’un problème donné tout en te rappelant qu’au final c’est “un peu comme” la situation avec les deux droites.
En dimension 3 tu t’occuperas de plans dans l’espace et au delà de la dimension 3 tu parleras d’hyperplans de dimension n.
Encore une fois, si tu veux te faire une intuition sur ces sujets alors je te recommande les excellentes vidéos de la chaîne YouTube 3Blue1Brown sur l’algèbre linéaire.
Mais ce n’est pas tout !

Les matrices que tu vois tous les jours sans le savoir

Toutes les images numérisées au format jpg ou jpeg sur ton smartphone, sur ton appareil photo, sur ta tablette et sur ton ordinateur sont des matrices de pixels
Pour la faire simple on va d’abord considérer les images en noir et blanc
Soit une image I alors sa représentation numérique est une matrice de taille définie par la résolution d’écran
Ainsi I sera un tableau de 0 (blanc) et de 1 (noir)
Pour une image en couleurs il y aura un autre codage mais le principe sera le même
Tu peux également retrouver les matrices en toile de fond de l’algorithme page rank développé par Google pour effectuer ses recherches
Il s’agit là d’un cas particulier de la théorie des graphes mais ça c’est une autre histoire qu’on abordera une autre fois.

Vers l’infini et au-delà

En fait, il y a plusieurs choses que tu dois comprendre et retenir.
Partout dans le sens inverse de la chronologie en s’appuyant sur ton quotidien.
Tu as forcément entendu parler des fameux Big Data ou encore de l’importance des données personnelles qui représentent le pétrole du XXI ème siècle.
On parle d’économie des données comme Siraj Raval l’explique dans cette vidéo que j’ai traduit (donc tu peux mettre les sous-titres si tu ne comprends pas ce qu’il dit) :

C’est très simple, aussi complexe et unique que tu puisses être tu partages un certain nombre de caractéristiques avec tous les autres êtres humains.
Comme tout le monde tu as un âge, une taille, un poids, un sexe ou genre selon ta préférence (on va pas Paul et Mickey ici donc viens comme tu es), une couleur d’yeux, un tour de taille…
TOUTES tes caractéristiques peuvent être codées  par des nombres que l’on peut ranger dans des vecteurs et des matrices…
… parce qu’au final c’est ce que font toutes les plateformes qui enregistrent tes données personnelles …
… et cela peut aller très loin dans le raffinement notamment en introduisant les profils psychologiques, comportements sociaux (grâce aux réseaux sociaux), types de contenus appréciés, types de contenus partagés, type d’attirance sexuelle (grâce aux applications de rencontre), habitudes de consommation, durée du sommeil…
La liste de tes données personnelles peut être affinée à loisir… au final elles termineront toutes sous la formes de matrices traitées par des ordinateurs…
En un certain sens Bruce Lipton a raison quand il dit :

Je te laisse méditer là dessus.
À demain pour l’informatique sur https://computercode.fr/
PS : si tu as raté l’infolettre d’hier tu peux la lire ici sur https://govoritparoussky.fr/ ou la voir en vidéo sur LanguageScience.
PPS : pour télécharger des ressources gratuites ou acheter des formations ça se passe icihttps://laurentgarnier.podia.com/


L2PTM : La Prépa Pour Tous Maths, module [01/18] : raisonnement

 

Lis cet article sur MailChimp et rejoins la newsletter : https://us17.campaign-archive.com/?u=eb99d717567486fa5dfaf7dfe&id=d20f3f92d5

 

Partager l'article
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *